El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo , tanto diferencial como integral. Informalmente hablando se dirá que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.
Teoremas de límites
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.
Nota: los teoremas se presentan sin demostración, pero quien quiera puede solicitar que los agregue
Teorema de límite (1)
Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces
$$\lim_{x->a}k=k$$
Teorema de límite (2)
Para cualquier número dado a,
$$\lim_{x->a}x=a$$
Teorema de límite (3)
Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces
$$\lim_{x->a}mx+b=ma+b$$
Teorema de límite (4)
Si $\lim_{x->a}f(x)=L$ y $\lim_{x->a}g(x)=M$, entonces
$$\lim_{x->a}f(x)+g(x)=L+M$$
$$\lim_{x->a}f(x)\cdot g(x)=L\cdot M$$
$$\lim_{x->a}\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{L}{M} $$
$$\lim_{x->a}k\cdot f(x) =K\cdot L\,\text{, k es una constante} $$
Teorema de límite (5)
Si $\lim_{x->a}f(x)=L$ y $n$, es un numero positivo, entonces
$$\lim_{x->a}[f(x)]^n =[\lim_{x->a}f(x)]^n$$
Teorema de límite (6)
Si f es un polinomio y a es un número real, entonces
$$\lim_{x->a}f(x)=f(a)$$
Teorema de límite (7)
Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces
$$\lim_{x->a}q(x)=q(a)$$
Teorema de límite (8):
si $\lim_{x->a}f(x)=L$ y $n$ es un entero positivo, entonces
$$\lim_{x->a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x->a}f(x)}=\sqrt[n]{L}$$
Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el límite se calcula directamente.
Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquier polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4 implican funciones polinómicas es indistinto que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando calculamos el límite de una función polinómica. Lo mismo, la propiedad 7 se aplica a una función racional y la propiedad 4 también.
Cuando al sustituir la a por x en la función nos da la forma indeterminada 0/0 es posible calcular el límite pero, previamente, hay que transformar la fórmula de la función de tal modo que, una vez hecha la simplificación pertinente, se pueda evitar la división por cero: para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorización, la conjugada, etc.
Ejercicios resueltos
Evalué los siguientes límites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en cada paso:
$$\lim_{x\to 5}12=$$
Desarrollo
de acuerdo al teorema (1), $$\lim_{x\to 5}(12)= 12$$
$$\lim_{x\to3}{2x+4}=$$
Desarrollo
dado que $2x+4$ tiene la forma {mx+b}, lo adecuado es aplicar el teorema (3), por ende
$$\lim_{x\to3}{(2x+4)}\\=\lim_{x\to3}{2x}+\lim_{x\to3}{4}\\=2\cdot\lim_{x\to3}{x}+\lim_{x\to 3}{4}\\=2\cdot3+4\\=10$$
$$\lim_{x->2}{x^2+4x+5}=$$
Desarrollo
$$\lim_{x->2}{x^2+4x+5}\\=\lim_{x->2}{x^2}+\lim_{x->2}{4x}+\lim_{x->2}{5}\\=4+8+5\\=17$$
$$\lim_{x\to 3}\frac{3x+4}{2x+3}$$
Desarrollo
$$\lim_{x\to 3}\frac{3x+4}{2x+3}\\=\frac{\lim_{x\to 3}{(3x+4)}}{\lim_{x\to 3}{(2x+3)}}\\=\frac{13}{12}$$
$$\lim_{x\to\frac{3}{2}}\frac{4x^2-9}{2x-3}=$$
Desarrollo
No es posible aplicar directamente el teorema 7 , pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión, se obtiene fácilmente el límite aplicando el T1
$$\frac{4x^2-9}{2x-3}=\frac{(2x+3)(2x-3)}{2x-3}=\frac{(2x+3)(2x-3)}{2x-3}=2x+3$$
entonces
$$\lim_{x\to\frac{3}{2}}\frac{4x^2-9}{2x-3}=\lim_{x\to\frac{3}{2}}2x+3=6$$
Seguiré editando según el tiempo lo permita.
PD: Necesito un servidor mas potente.
Teoremas de límites
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.
Nota: los teoremas se presentan sin demostración, pero quien quiera puede solicitar que los agregue
Teorema de límite (1)
Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces
$$\lim_{x->a}k=k$$
Teorema de límite (2)
Para cualquier número dado a,
$$\lim_{x->a}x=a$$
Teorema de límite (3)
Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces
$$\lim_{x->a}mx+b=ma+b$$
Teorema de límite (4)
Si $\lim_{x->a}f(x)=L$ y $\lim_{x->a}g(x)=M$, entonces
$$\lim_{x->a}f(x)+g(x)=L+M$$
$$\lim_{x->a}f(x)\cdot g(x)=L\cdot M$$
$$\lim_{x->a}\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{L}{M} $$
$$\lim_{x->a}k\cdot f(x) =K\cdot L\,\text{, k es una constante} $$
Teorema de límite (5)
Si $\lim_{x->a}f(x)=L$ y $n$, es un numero positivo, entonces
$$\lim_{x->a}[f(x)]^n =[\lim_{x->a}f(x)]^n$$
Teorema de límite (6)
Si f es un polinomio y a es un número real, entonces
$$\lim_{x->a}f(x)=f(a)$$
Teorema de límite (7)
Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces
$$\lim_{x->a}q(x)=q(a)$$
Teorema de límite (8):
si $\lim_{x->a}f(x)=L$ y $n$ es un entero positivo, entonces
$$\lim_{x->a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x->a}f(x)}=\sqrt[n]{L}$$
Procedimiento para calcular límites
Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el límite se calcula directamente.
Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquier polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4 implican funciones polinómicas es indistinto que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando calculamos el límite de una función polinómica. Lo mismo, la propiedad 7 se aplica a una función racional y la propiedad 4 también.
Cuando al sustituir la a por x en la función nos da la forma indeterminada 0/0 es posible calcular el límite pero, previamente, hay que transformar la fórmula de la función de tal modo que, una vez hecha la simplificación pertinente, se pueda evitar la división por cero: para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorización, la conjugada, etc.
Ejercicios resueltos
Evalué los siguientes límites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en cada paso:
$$\lim_{x\to 5}12=$$
Desarrollo
de acuerdo al teorema (1), $$\lim_{x\to 5}(12)= 12$$
$$\lim_{x\to3}{2x+4}=$$
Desarrollo
dado que $2x+4$ tiene la forma {mx+b}, lo adecuado es aplicar el teorema (3), por ende
$$\lim_{x\to3}{(2x+4)}\\=\lim_{x\to3}{2x}+\lim_{x\to3}{4}\\=2\cdot\lim_{x\to3}{x}+\lim_{x\to 3}{4}\\=2\cdot3+4\\=10$$
$$\lim_{x->2}{x^2+4x+5}=$$
Desarrollo
$$\lim_{x->2}{x^2+4x+5}\\=\lim_{x->2}{x^2}+\lim_{x->2}{4x}+\lim_{x->2}{5}\\=4+8+5\\=17$$
$$\lim_{x\to 3}\frac{3x+4}{2x+3}$$
Desarrollo
$$\lim_{x\to 3}\frac{3x+4}{2x+3}\\=\frac{\lim_{x\to 3}{(3x+4)}}{\lim_{x\to 3}{(2x+3)}}\\=\frac{13}{12}$$
$$\lim_{x\to\frac{3}{2}}\frac{4x^2-9}{2x-3}=$$
Desarrollo
No es posible aplicar directamente el teorema 7 , pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión, se obtiene fácilmente el límite aplicando el T1
$$\frac{4x^2-9}{2x-3}=\frac{(2x+3)(2x-3)}{2x-3}=\frac{(2x+3)(2x-3)}{2x-3}=2x+3$$
entonces
$$\lim_{x\to\frac{3}{2}}\frac{4x^2-9}{2x-3}=\lim_{x\to\frac{3}{2}}2x+3=6$$
Seguiré editando según el tiempo lo permita.
PD: Necesito un servidor mas potente.
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